Portafolio
II Bimestre
Francisco
Javier Ramírez
Métodos
de solución de ecuaciones
Método
de Newton Raphson
El método de Newton-Raphson
es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está
garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un
valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de
comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado
punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a
la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta
múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz,
entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige
seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto,
el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La
abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor
aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas
iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f :
[a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b].
Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n
| Aproximación Inicial | Criterio Tomado de Análisis de Burden | |||||||||||
| No | Número Máximo de Iteraciones | xi | f(xi) | f´(xi) | xr=xi-(f(xi)/f´(xi)) | Condición I | Criterio I | Condición II | cifras significativas | tolerancia | Error | Condición III |
| 1 | 5 | 1 | 0.364664717 | -0.729329434 | 1.5 | Continuar | 1 | 2 | 0.005 | 1 | ||
| 2 | 5 | 1.5 | -0.049787068 | -0.900425863 | 1.444707199 | Continuar | 0.5 | Continuar | 2 | 0.005 | 0.333333333 | Continuar |
| 3 | 5 | 1.444707199 | -0.000315966 | -0.888782465 | 1.444351694 | Continuar | 0.055292801 | Continuar | 2 | 0.005 | 0.03827267 | Continuar |
| 4 | 5 | 1.444351694 | -1.40594E-08 | -0.88870336 | 1.444351678 | Continuar | 0.000355505 | Solución = 1.44435169391685 | 2 | 0.005 | 0.000246134 | Solución = 1.44435167809671 |
Método
de bisección
Este es uno de los métodos más
sencillos y de fácil intuición para resolver ecuaciones en una variable. Se
basa en el teorema del valor intermedio (TVI), el
cual establece que toda función continua f en un intervalo cerrado [a,b]
toma todos los valores que se hallan entre f(a) y f(b).
Esto es que todo valor entre f(a) y f(b) es la
imagen de al menos un valor en el intervalo [a,b]. En caso de que f(a)
y f(b) tengan signos opuestos, el valor cero sería un valor
intermedio entre f(a) y f(b), por lo que con
certeza existe un p en [a,b] que cumple f(p)=0. De esta
forma, se asegura la existencia de al menos una solución de la ecuación f(a)=0.
El método consiste en lo
siguiente:
- Debe existir seguridad sobre la continuidad de la función f(x)
en el intervalo [a,b]
- A continuación se verifica que
- Se calcula el punto medio m del intervalo [a,b] y se
evalúa f(m) si ese valor es igual a cero, ya hemos
encontrado la raíz buscada
- En caso de que no lo sea, verificamos si f(m) tiene
signo opuesto con f(a) o con f(b)
- Se redefine el intervalo [a, b] como [a, m] ó [m,
b] según se haya determinado en cuál de estos intervalos ocurre un
cambio de signo
- Con este nuevo intervalo se continúa sucesivamente encerrando la
solución en un intervalo cada vez más pequeño, hasta alcanzar la precisión
deseada
En la siguiente figura se
ilustra el procedimiento descrito.
El método de bisección es
menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro
para garantizar la convergencia. Si f es una función continua en el intervalo [a, b]
y f(a)f(b) < 0, entonces este método converge a la raíz de f. De
hecho, una cota del error absoluto es:
en la n-ésima
iteración. La bisección converge linealmente, por lo
cual es un poco lento. Sin embargo, se garantiza la convergencia si f(a)
y f(b) tienen distinto signo.
|
Aproximación Inicial |
Criterio Tomado de Análisis de Bu | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| No | Número Máximo de Iteraciones | xi | f(xi) | f´(xi) | xr=xi-(f(xi)/f´(xi)) | Condición I | Criterio I | Condición II | cifras significativas | tolerancia | Error | Condicion III | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 0.364664717 | -0.729329434 | 1.5 | Continuar | 1 | 2 | 0.005 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1.5 | -0.049787068 | -0.900425863 | 1.444707199 | Continuar | 0.5 | Continuar | 2 | 0.005 | 0.333333333 | Continuar | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1.444707199 | -0.000315966 | -0.888782465 | 1.444351694 | nuar | 2 | 0.005 | 0.03827267 | Continuar | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1.444351694 | -1.40594E-08 | -0.88870336 | 1.444351678 | Continuar | 0.000355505 | Solución = 1.44435169391685 |
2 | 0.005 | 0.000246134 | Solución = 1.44435167809671 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Si existieran más de una raíz en el intervalo entonces el método sigue
siendo convergente pero no resulta tan fácil caracterizar hacia qué raíz
converge el método.
Como en el método de
bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0]
con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo
que garantiza que en su interior hay al menos una raíz (véase Teorema de Bolzano). El algoritmo
va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak,
bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.
A partir de un intervalo [ak,
bk] se calcula un punto interior ck:
Dicho punto es la intersección
de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk))
con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).
Se evalúa entonces f(ck).
Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no,
el próximo intervalo [ak+1, bk+1]
será:
- [ak, ck] si f(ak)
y f(ck) tienen signos opuestos;
No xi xf f(xi) f(xf) f(xi)f(xf) xr= xf-((fxf)(xi-xf)/(f(xi)-f(xu)) f(xr) f(xi)f(xr) Condición I cifras significativas tolerancia error Condición II 1 0 1 0.5 0.364664717 0.182332358 3.694528049 -2.195146028 -1.097573014 No hay solución 2 0.005 1 continuar 2 0 3.694528049 0.5 -2.195146028 -1.097573014 0.685404058 0.560694247 0.280347124 Hay una solución en el intervalo xi y xf 2 0.005 439.02921% continuar 3 0.685404058 3.694528049 0.560694247 -2.195146028 -1.23080575 1.297630582 0.127743035 0.071624785 Hay una solución en el intervalo xi y xf 2 0.005 47.18034% continuar 4 1.297630582 3.694528049 0.127743035 -2.195146028 -0.280414615 1.429443573 0.0132239 0.001689261 Hay una solución en el intervalo xi y xf 2 0.005 9.22128% continuar 5 1.429443573 3.694528049 0.0132239 -2.195146028 -0.029028391 1.443007084 0.001194744 1.57992E-05 Hay una solución en el intervalo xi y xf 2 0.005 0.93995% continuar 6 1.443007084 3.694528049 0.001194744 -2.195146028 -0.002622638 1.444231844 0.000106495 1.27234E-07 Hay una solución en el intervalo xi y xf 2 0.005 0.08480% Parar Solución = 1.44423184425414
[ck, bk] en caso contrario.
Método del
punto fijo
El método de iteración de punto fijo, también denominado
método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación
en la
forma
.
Llamemos
a la raíz
de
. Supongamos que
existe y es conocida la función
tal que:
Entonces:
.
| No | xi | xf | f(xi) | f(xf) | f(xi)f(xf) | xr= xf-((fxf)(xi-xf)/(f(xi)-f(xu)) | f(xr) | f(xi)f(xr) | Condición I | cifras significativas | tolerancia | error | Condición II |
| 1 | 0 | 1 | 0.5 | 0.364664717 | 0.182332358 | 3.694528049 | -2.195146028 | -1.097573014 | No hay solución | 2 | 0.005 | 1 | continuar |
| 2 | 0 | 3.694528049 | 0.5 | -2.195146028 | -1.097573014 | 0.685404058 | 0.560694247 | 0.280347124 | Hay una solución en el intervalo xi y xf | 2 | 0.005 | 439.02921% | continuar |
| 3 | 0.685404058 | 3.694528049 | 0.560694247 | -2.195146028 | -1.23080575 | 1.297630582 | 0.127743035 | 0.071624785 | Hay una solución en el intervalo xi y xf | 2 | 0.005 | 47.18034% | continuar |
| 4 | 1.297630582 | 3.694528049 | 0.127743035 | -2.195146028 | -0.280414615 | 1.429443573 | 0.0132239 | 0.001689261 | Hay una solución en el intervalo xi y xf | 2 | 0.005 | 9.22128% | continuar |
| 5 | 1.429443573 | 3.694528049 | 0.0132239 | -2.195146028 | -0.029028391 | 1.443007084 | 0.001194744 | 1.57992E-05 | Hay una solución en el intervalo xi y xf | 2 | 0.005 | 0.93995% | continuar |
| 6 | 1.443007084 | 3.694528049 | 0.001194744 | -2.195146028 | -0.002622638 | 1.444231844 | 0.000106495 | 1.27234E-07 | Hay una solución en el intervalo xi y xf | 2 | 0.005 | 0.08480% | Parar Solución = 1.44423184425414 |
Método de la
secante
En análisis numérico el método de la secante es un método para
encontrar los
ceros de una función de forma iterativa.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de
calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la
definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función
evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este
método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la
función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de
Newton no resulta atractivo.
| Aproximación Inicial | Criterio Tomado de Análisis de Burden | ||||||||||||
| No | Número Máximo de Iteraciones | xo | xi | f(xo) | f(xi) | Condición 1 | xi+1 | Criterio I | Condición II | cifras significativas | tolerancia | Error 1 | Condición III |
| 1 | 5 | 1 | 2 | 0.364664717 | -0.518315639 | Continuar | 1.412993012 | 1 | Continuar | 2 | 0.005 | 1 | |
| 2 | 5 | 2 | 1.412993012 | -0.518315639 | 0.027756782 | Continuar | 1.442830492 | 0.587006988 | Continuar | 2 | 0.005 | 0.5 | continuar |
| 3 | 5 | 1.412993012 | 1.442830492 | 0.027756782 | 0.001351625 | Continuar | 1.444357811 | 0.02983748 | Continuar | 2 | 0.005 | 0.415435167 | continuar |
| 4 | 5 | 1.442830492 | 1.444357811 | 0.001351625 | -5.45026E-06 | Continuar | 1.444351677 | 0.001527319 | Solución = 1.44435781091921 | 2 | 0.005 | 0.020679824 | continuar |
| 5 | 5 | 1.444357811 | 1.444351677 | -5.45026E-06 | 1.03955E-09 | Terminar | #¡REF! | 6.13399E-06 | Solución = 1.44435167692697 | 2 | 0.005 | 0.001057438 | Solución = 1.44435781091921 |
En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.
Curva
Paramétrica
En matemáticas, una ecuación
paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o
en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada
parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se
desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática,
es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la
velocidad de un móvil.
Curva
polar
Es un sistema de coordenadas
bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y una
distancia. De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le
llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por
O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como
sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida
métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano),
todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia
de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida
OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en
sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o
«radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo
polar». En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es
indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por
(0,0º).
Conversión
de paramétricas a cartesianas
Definido un punto del plano
por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
(aplicando el Teorema de Pitágoras) Para
determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
-Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier
valor real.
- Para ≠ 0, para obtener un
único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención,
los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
-Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se
deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente): Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se
deben usar las siguientes fórmulas:
Graficar
con geogebra
Para graficar en coordenadas
polares con GeoGebra se procede de la siguiente forma: Sabemos que la sintaxis
para graficar un punto en este programa es (x, y), bien pues para poner un
punto en coordenadas polares r, theta la sintaxis es (r; theta); aquí
emplearemos punto y coma para que se trate de coordenadas polares.
Ahora, para dibujar el plano
polar escribiremos el siguiente código:
-Primero:
Secuencia[Circunferencia[(0,0), i], i,1,10]
Esto crea una secuencia o
familia de círculos de centro en el origen con un incremento de 1 y con 10
círculos en total (esto lo puedes variar).
-Segundo: Secuencia[Recta[(0,0),(cos(i),sin(i))],i,0,2pi,pi/6]
Esto crea una familia de
rectas que pasan por el origen con un incremento en el ángulo de inclinación de
pi/6
Con esto ya tienes tu plano
polar, ahora para dibujar curvas polares vamos a tener que parametrizar las
funciones de la siguiente manera:
-Primero ingresamos la
función; por ejemplo r(x)=cos(2*x), la graficamos y luego la ocultamos (donde
dice mostrar objeto), a continuación escribimos el siguiente código:
Curva[r(t)*cos(t), r(t)*sin(t), t, 0, 2pi]
De esta forma se obtiene la
gráfica de una curva polar.
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